Maths : peut-on diviser par zéro ?

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Peut-on diviser par zéro ? On vous explique pourquoi ce nombre aux propriétés vertigineuses est mal adapté à la division.

Multiplier par l’inverse de zéro

Tout d’abord, rappelons qu’il existe non pas quatre opérations arithmétiques élémentaires, mais deux. Soustraire un nombre revient en effet à ajouter son opposé. C’est donc une addition à peine déguisée. Il en est de même lorsqu’on divise par un nombre : on multiplie en fait par son inverse. Retrouvons maintenant le zéro : diviser par celui-ci reviendrait donc à multiplier par l’inverse de zéro. Et c'est ici que la machine se grippe. Prenons z, un nombre quelconque. Par définition, l’inverse de z est le nombre z’ tel que z x z’ = 1. Trouver l’inverse de 0, c’est trouver un nombre z’ tel que 0 x z’ = 1. Ce qui est évidemment impossible : on peut multiplier n’importe quoi par zéro, on obtiendra toujours zéro. Zéro n’a donc pas d’inverse. Par conséquent, on ne peut pas multiplier par l’inverse de zéro et on ne peut donc pas diviser avec celui-ci. 

 Un résultat qui tend vers l'infini

Par ailleurs, une fraction ayant 0 au dénominateur est indéterminée : ni égale à 0, ni égale à l’infini, elle est un contresens mathématique. Autrement, les opérations les plus simples nous fourniraient des absurdités… Du genre : 1 est égal à 2. Par convention, la division par zéro donne un résultat qui tend vers l’infini.

Un nombre aux propriétés vertigineuses

Deux mille ans avant notre ère, un espace laissé vide sur une tablette sumérienne indiquait déjà une absence de quantité. Mais c’est avec les mathématiciens du sous-continent indien que le "zéro" devient un nombre à part entière. Un nombre aux propriétés vertigineuses, et dont on ne saurait se passer aujourd’hui.

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